Theorema. Sint \(G\) et \(H\) greges, \(\phi : G \rightarrow H\) morphismus gregum, et sit \(K = \text{ker}\ \phi\). Sit \(\psi : G \rightarrow G/K\) morphismus canonicus. Tum existit isomorphismus unicus \(\eta : G/K \rightarrow \phi(G)\) ut \(\phi = \eta\psi\).
Demonstratio. Scimus \(K\) normalem in \(G\) esse. Definimus \(\eta : G/K \rightarrow \phi(G)\) ubi \(\eta(gK)=\phi(g)\), et demonstramus \(\eta\) functio esse. Si \(g_1K = g_2K\), existit \(k\in K\) ut \(g_1k = g_2\); ergo,
\[\eta(g_1 K) = \phi(g_1) = \phi(g_1)\phi(k) = \phi(g_1k) = \phi(g_2) = \eta(g_2K).\]
Tum \(\eta\) selectione testis classis lateralis non dependet et congruentia \(\eta\) unica est quod \(\phi = \eta\psi\). Nunc demonstramus \(\eta\) morphismum esse:
\[ \begin{align*} \eta(g_1Kg_2K) &= \eta(g_1g_2K)\\ &= \phi(g_1g_2)\\ &= \phi(g_1)\phi(g_2)\\ &= \eta(g_1K)\eta(g_2K). \end{align*} \]
Functio \(\eta\) superiectiva est. Volumus demonstrare \(\eta\) iniectivam esse. Sint \(g_1K,g_2K\in G/K\) ut \(\eta(g_1K)=\eta(g_2K)\). Tum \(\phi(g_1)=\phi(g_2)\). Itaque \(\phi(g_1^{-1}g_2) = e\) et \(g_1^{-1}g_2\in \text{ker}\ \phi\); ergo, \(g_1^{-1}g_2K = K\), id est \(g_1K=g_2K\), et \(\eta\) isomorphismus est. Q.E.D.
Irrationalitas numeri \(\sqrt{2}\)
Theorema. Numerus \(\sqrt{2}\) irrationalis est.
Demonstratio. Demonstramus rationalitam numeri \(\sqrt{2}\) contradictionem implicare. Si \(\sqrt{2}\) rationalis est, existunt numeri integri \(p\) et \(q\) ut \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), ubi \(p\) and \(q\) factores primos aequales non habent. Tum \(2 = \frac{p^2}{q^2}\) et \(p^2=2q^2\); ergo \(p\) est numerus par, et existit numerus integer \(r\) ut \(p=2r\). A prima aequatione sequitur \(2q^2 = (2r)^2 = 4r^2\), ergo \(q^2 = 2r^2\) et \(q\) est numerus par. Sed \(p\) et \(q\) factores primos aequales non habent. Q.E.A.
Theorema parvum Fermatianum
Theorema. Sit \(a\) numerus integer aliquis. Si \(p\) est numerus primus, \(a^p \equiv a\ (\text{mod}\ p)\).
Demonstratio. Primo, demonstramus copiam \(U(p)=\{1, 2, \ldots , p-1\}\) cum operatione multiplicationis secundum modulum \(p\) gregem esse. Clare, copia clausa est et \(1\) eius elementum idemfactor est. Associativitas sequitur associativitam multiplicationis integrae. Pro omnia elementa in \(U(p)\), debemus invenire elementum inversum. Sit \(a\in U(p)\). Cum \(1 \leq a \leq p-1\), \(\text{gcd}(a, p) = 1\). Tum existunt numeri integri \(r\) et \(s\) ut \(1 = ra + sp\). Secundum modulum \(p\), haec aequatio fit \(ra \equiv 1\ (\text{mod}\ p)\) et \(r\) elementum inversum \(a\) in \(U(p)\) est. Itaque \(U(p)\) grex est, cum \(\lvert U(p)\rvert=p-1\).
Nunc theorema demonstrare possumus. Sit \(a\) numerus integer. Sine detrimento generalitatis, habere \(1 \leq a \leq p-1\) possumus, ergo \(a\in U(p)\). Sit \(k\) minimus integer satisfaciens \(a^k \equiv 1\ (\text{mod}\ p)\), id est, \(k\) est ordo \(a\) in \(U(p)\). Per theorema Lagrangiae, \(k\) dividit ordinem gregis, ergo est \(m\) ut \(km = \lvert U(p)\rvert = p - 1\). Tum
\[a^{p-1} \equiv a^{km} \equiv 1^m \equiv 1\ (\text{mod}\ p).\]
Multiplicare hanc aequationem cum \(p\), habemus \(a^p \equiv p\ (\text{mod}\ p)\). Q.E.D.
Theorema Erdős-Szekeres
Theorema. Si \(S\) est sequentia finita longitudine \(\geq (r-1)(s-1)+1\), erit subsequentia crescens longitudine \(r\) vel subsequentia decrescens longitudine \(s\).
Demonstratio. Theorema demonstratur contrapositione. Assumimus omne sequentia crescens longitudinem \(\leq r-1\) habere et omne sequentia decrescens longitudinem \(\leq s-1\) habere. Omni \(x_i\in S\) assignamus pittacium \((a_i, b_i)\), ubi \(a_i\) designat longitudinem longissimae sequentiae crescentis qui terminatur \(x_i\) et \(b_i\) designat longitudinem longissimae sequentiae decrescentis qui terminatur \(x_i\).
Affirmamus pittacia numerorum \(x_i\) inter se differre. Sint \(i\) et \(j\) numeri differentes; sine detrimento generalitate, \(i < j\) habetur. Si \(x_i\leq x_j\), erit \(a_i < a_j\), quia omnis sequentia crescens qui \(x_i\) terminatur \(x_j\) extendi potest. Similiter, si \(x_i\geq x_j\), erit \(b_j > b_i\), quia omnis sequentia decrescens qui \(x_i\) terminatur \(x_j\) extendi potest.
Cum \(a_i\leq r-1\) et \(b_i\leq s-1\) (omni \(i\)), sunt \(\leq (r-1)(s-1)\) pittacia. Tum sequentia \(S\) longitudinem \(\leq (r-1)(s-1)\) habet. Q.E.D.